I metodi di calcolo per le strutture nuove in muratura

Ing. Adriano Castagnone – Responsabile scientifico S.T.A. DATA srl

Le Norme Tecniche per le Costruzioni (DM 2018) – Capitolo 7) hanno confermato le diverse metodologie di calcolo già previste nelle norme precedenti (DM 2008) e sintetizzate nello schema seguente.

Di seguito si riporta un’analisi ragionata delle diverse metodologie, trascurando l’Analisi Lineare Statica e l’Analisi Dinamica Modale di scarsa rilevanza in quanto non sono in grado di cogliere l’aspetto non lineare delle strutture in muratura.

La scarsa resistenza a trazione è infatti l’elemento caratterizzante la muratura. Non considerare questo aspetto, salvo rare eccezioni, significa realizzare modelli che non sono in grado di cogliere il reale comportamento strutturale.

1. Confronto metodo FME (FRAME BY MACROELEMETS) con metodo FEM

1.1 Il metodo FME (frame by MACROELEMENTS)

La Norma fornisce alcune considerazioni generali sulle modalità di modellazione delle strutture con la finalità dell’analisi sismica globale.

Per gli edifici in muratura ordinaria e armata vengono inoltre precisate alcune parti- colarità e suggeriti i relativi concetti per la loro modellazione.

Il modello di riferimento è quello a telaio equivalente tridimensionale, in cui le pareti sono interconnesse da diaframmi orizzontali di piano (solai).

Nello specifico degli edifici in muratura, la parete potrà essere adeguatamente schematizzata come telaio, in cui vengono assemblati gli elementi resistenti (maschi e fasce) ed i nodi rigidi.

Le travi di accoppiamento in muratura ordinaria, o fasce, saranno modellate solo se il progettista le riterrà adeguatamente ammorsate alle pareti.

Dividendo la parete in tratti verticali corrispondenti ai vari piani e nota l’ubicazione delle aperture, vengono automaticamente determinate le porzioni di muratura, maschi murari e fasce di piano in cui si concentrano deformabilità e danneggiamento (come è verificabile dalle osservazioni dei danni da sismi reali, da simulazioni speri- mentali e numeriche).

Quindi maschi e fasce sono modellate con i macroelementi finiti bidimensionali, rappresentativi di pannelli murari, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo (ux, uz, roty).

Le restanti porzioni di parete vengono dunque considerate come nodi rigidi bidimensionali di dimensioni finite, a cui sono connessi i macroelementi; questi ultimi trasmettono, ad ognuno dei nodi incidenti, le azioni lungo i tre gradi di libertà del piano.

 Nella descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di coordinate (x,z) nel piano della parete; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente ux, uz, roty (nodi bidimensionali).

Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete diviene quindi del tutto assimilabile a quello di un telaio piano.

La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi, individuate nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità.

Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello prevede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono sprovviste di rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano compresse. Questa loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità nel modello.

La Norma ha, tra i suoi presupposti, il carattere prestazionale: le indicazioni sulle modalità di modellazione e verifica degli elementi costituiscono un riferimento per un’affidabile modellazione non lineare.

La Norma richiede la formulazione di meccanismi che considerino sia la risposta flessionale, sia la risposta a taglio: il meccanismo di pressoflessione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l’effettiva ridistribuzione delle compressioni dovute sia alla parzializzazione della sezione, sia al raggiungimento della resistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo associato al meccanismo di pressoflessione è determinato sulla base del valore massimo di drift previsto per questo meccanismo: 0.6%.

Il meccanismo di taglio, descritto secondo il legame sviluppato da Gambarotta-Lagomarsino, riesce a cogliere il progressivo degrado di resistenza e rigidezza dell’elemento, attraverso le grandezze descrittive del danneggiamento.

La deformazione ultima a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift previsto dalla normativa: 0.4%.

La struttura risulta modellata dall’assemblaggio di strutture piane: le pareti e gli orizzontamenti, entrambi privi di rigidezza flessionale fuori dal piano.

Il modello realizzato mette in luce il comportamento spaziale della struttura. Per questo masse e rigidezze sono distribuite su tutti i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. nel piano (nodi bidimensionali).

I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di libertà nel piano di riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti (localizzati nelle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di gradi di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali).

Previsioni di intervento

Grazie a questa tecnica di modellazione si possono individuare i punti di debolezza strutturale mediante una mappatura colorata (ad ogni colore è associato un livello di degrado localizzato).

Si riportano di seguito alcune immagini ottenute dall’analisi di strutture in muratura con il software 3Muri®.

Il degrado strutturale di ogni singola parete, come conseguenza del progressivo caricamento della struttura è evidenziato mediante mappe di danneggiamento riportate sulle pareti.

La figura sopra riporta le scale di colore che individuano i diversi gradi di danneggiamento dei vari elementi strutturali (pareti, pilastri, cordoli, travi, setti) secondo le varie gradazioni raggiunte.

Le figure seguenti riportano i diversi stadi di degrado della struttura in funzione del livello di carico raggiunto.

1° Stadio della struttura

2° Stadio della struttura

3° Stadio della struttura

Grazie a questo strumento è possibile individuare i punti in cui intervenire per risol- vere le carenze riscontrate.

Strutture miste

Elemento caratterizzante di tale modellazione è la possibilità di esaminare strutture in muratura miste, in cui la presenza del c.a., legno, acciaio forniscono un notevole contributo alla resistenza della struttura.

Una tecnica, particolarmente usata per le strutture nuove in muratura, consiste nel realizzare le pareti di confine in muratura portante e inserire telai in c.a. all’interno dell’edificio da realizzare.

In questo modo si possono utilizzare

Sebbene la resistenza degli elementi strutturali in c.a. sia quasi sempre maggiore di quella degli elementi murari, tale procedura di calcolo permette di monitorare le se- quenze di rottura dei vari elementi indipendentemente dalla tipologia strutturale e dal materiale a cui appartengono andandoli ad escludere dal contributo alla resi- stenza complessiva quando si rompono.

Modellazione 3D di una struttura mista con telai interni

Modellazione 3D di una struttura mista con tetto in c.a.

Sintesi delle caratteristiche del metodo FME adottato da 3Muri®

• Modellazione a telaio equivalente con tutte le specifiche richieste da normativa
• Gli elementi del modello, maschi e fasce, consentono il calcolo diretto delle sollecitazioni per confrontarle con i valori limite forniti dalla normativa.
• Presa in esame di strutture miste (muratura, trave, pilastri, setti in c.a., acciaio e legno) con comportamento non lineare di tutti gli elementi.
• La modellazione delle pareti a telaio equivalente permette di realizzare l’assemblaggio spaziale delle pareti, collegandole tramite elementi deformabili per la simulazione dell’effettiva rigidezza dei solai.
• Lettura dei risultati semplice ed intuitiva: possono essere individuate le cause di danneggiamento locale e globale per taglio o presso-flessione potendo intervenire efficacemente per consolidare la struttura.
• La notevole velocità di calcolo non lineare è poco sensibile alla dimensione del modello.

1.2 Il Metodo FEM (Metodo elementi finiti)

Un edificio in muratura può essere analizzato discretizzando le pareti mediante elementi finiti di superficie con programmi FEM classici.

A causa di questo, l’analisi è tanto più significativa quanto maggiore è il grado di dettaglio della mesh, quindi risulta “mesh dependent” e fortemente condizionata dalle operazioni di definizione del modello.

Questa analisi risulta decisamente più onerosa in termini computazionali ed è solo realizzabile con programmi di calcolo automatico.

Nel caso in cui venga considerata una legge costitutiva non lineare del materiale, il metodo può prendere in esame il corretto degrado della muratura, riducendo la resistenza degli elementi danneggiati.

La definizione dei parametri richiede una accurata conoscenza del materiale murario ad un livello di dettaglio non esplicitamente contemplato nelle normative la cui valutazione si può ricavare solo attraverso accurate analisi sperimentali.

La mancanza di questi parametri o la loro non corretta valutazione, equivale ad ottenere, come risultato di un’analisi statica non lineare, una curva “pushover” che non prende in esame il tratto discendente che si forma a causa del danneggiamento strutturale.

La norma invece definisce il valore ultimo in corrispondenza al decadimento del taglio del 20% rispetto al valore massimo.

Non è quindi possibile definire il collasso, in accordo a quanto richiesto dalla Norma.

Curva pushover con decadimento del taglio del 20% rispetto al valore massimo

I risultati di analisi di questo tipo forniscono mappe che mettono in luce il livello tensionale localizzato della muratura.

Il valore puntuale di tensione superiore al valore limite non rappresenta la rottura del pannello murario.

I criteri di resistenza per gli elementi murari dipendono infatti da valori delle caratteristiche di sollecitazione che non hanno una corrispondenza diretta con lo stato tensionale, considerando quindi non gli effetti puntuali delle tensioni, ma anche possibili ridistribuzioni dovute al comportamento non lineare ed al degrado.

Per eseguire un’analisi corretta e coerente, è quindi necessario rielaborare i risultati della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione.

Risultati della modellazione, tramite operazioni di media ed integrazione

Sintesi caratteristiche del metodo FEM

• Dipendenza dell’analisi dalla mesh (mesh dependent) e tempo di calcolo fortemente dipendente dalle dimensioni del modello; per grandi modelli il tempo di calcolo può essere notevole.
• Definizione puntuale delle leggi costitutive del materiale di difficile reperimento
• La Norma non contiene tutti i parametri necessari a definire il comportamento non lineare ed il degrado, senza i cui valori non è possibile applicare coerentemente i criteri di resistenza ed i limiti di spostamento associati al decadimento della resistenza globale della curva di capacità.
• Per l’applicazione dei criteri di resistenza a taglio e pressoflessione alla muratura è necessario integrare gli effetti nodali sui singoli elementi murari, almeno a con- trollo e verifica di quanto ottenuto con il modello costitutivo non lineare.
• La Norma, infatti, non presenta riferimenti espliciti a modellazione dei pannelli mediante discretizzazione in elementi di superficie ma propone una modellazione a

telaio equivalente con maschi, travi in muratura ed eventuali altri elementi strutturali in c.a. ed acciaio.

1.3 Confronto metodo FME e FEM

Si riassumono le problematiche dell’analisi agli elementi finiti rispetto al modello a macroelementi.

• Tempi di calcolo rilevanti dovuti ad un consistente onere computazionale.
• La Norma fa esplicito riferimento ai modelli a telaio equivalente, sia quando tratta dei metodi di analisi (8.1.5), sia quando precisa come eseguire le verifiche (8.1.6 e 8.2.2). Si parla infatti sempre di elementi murari o strutturali.
• Nella Norma le verifiche sono eseguite in termini di caratteristiche di sollecitazione (N, T e M) e non di tensione puntuale nella muratura: una analisi ad elementi finiti richiede la successiva integrazione su tutto l’elemento murario poiché i criteri di resistenza forniti dalla normativa sono espressi in termini globali per il pannello.
• Un’analisi di dettaglio, come quella ad elementi finiti, richiede legami costitutivi puntuali definiti da un numero di parametri maggiore di quelli forniti dalla Norma che il progettista si trova a dover definire in modo arbitrario o mediante accurate analisi sperimentali.
• Anche la lettura finale dei risultati dell’analisi può non essere agevole o univoca, nel caso dei metodi agli elementi finiti, e richiede notevole esperienza e competenza specifica.

Da quanto fino ad ora detto emerge come sia complesso effettuare una verifica con un modello FEM continuo, rispettando le indicazioni della Norma.

Per le difficoltà che pone, tale strategia di modellazione è indicata per analisi specialistiche di strutture particolari o monumentali (chiese, torri, ponti in muratura), ma non adeguata a rispondere alle esigenze correnti, di accuratezza, velocità e semplicità di lettura dei risultati, proprie della pratica ingegneristica.

2. Bibliografia

Abrams D.P.,1996, Effects of scale and loading rate with tests of concrete and ma- sonry structures, Earthquake Spectra,12,1.

Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Ear- thquake Engineering,1,1.

Abrams D.P., Calvi G.M. (eds.), 1994, Proc. of the US-Italy workshop on Guidelines for seismic evaluation and rehabilitation of unreinforced masonry buildings, Techni- cal Report NCEER-94-0021, Pavia.

Abrams D.P., Costley A.C., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buil- dings with flexible diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign.

Anthoine A., Magonette G., Magenes G., 1995, Shear compression testing and ana- lysis of brick masonry walls, Proc. of the 10th European Conference on Earthquake Engineering, Vienna.

Benedetti D., Carydis P., Pezzoli P., 1998, Shaking table tests on 24 simple masonry buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 27, 1.

Braga F., Dolce M., 1982, Un metodo per l’analisi di edifici multipiano in muratura antisismici, Proc. 6th I.B.Ma.C., Roma.

Braga F., Liberatore D., 1991, Modeling of seismic behaviour of masonry buildings, Proc. 9th I.B.Ma.C., Berlino.

Brencich A., Lagomarsino S., 1997, Un modello a macroelementi per l’analisi ciclica di pareti murarie, Atti dell’8° Convegno Nazionale ANIDIS, Taormina.

Brencich A., Penna A., 1999, Una procedura a macroelementi per l’analisi sismica di pareti in muratura con orizzontamenti in cemento armato, Atti del 9° Convegno Na- zionale ANIDIS, Torino.

Cattari S., Curti E., Galasco A. , Resemini S., 2005, “Analisi sismica lineare e non li- neare degli edifici in muratura: teoria ed esempi di applicazione secondo OPCM 3274/2003 e 3431/2005”, E100 – collana Edilizia-Progettare e costruire, Esselibri- Simone Editore, Napoli, pp.176, ISBN 88-513-0305-3.

Clough R.W., Penzien J., 1993, Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York.

Costley A.C., Abrams D.P., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buil- dings with flexible diaphrams, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign.

Dadovici V., Benedetti D., 1994, Proc. of the Italian-French symposium on Streng- thening and repair of structures in seismic areas, Nizza.

Faccioli E., Pessina V. (eds.), 1999, The Catania Project – Earthquake damage sce- narios for a high risk area in the Mediterranean, CNR-GNDT, Roma.

Faccioli E., Pessina V., Calvi G. M., Borzi B., 1999, A study on damage scenario for residential buildings in Catania city, Journal of Seismology, 3, 3.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., 2001, Analisi sismica a macroelementi di edi- fici in muratura, Atti del 10° Convegno Nazionale ANIDIS, Potenza e Matera.

Gambarotta L., Lagomarsino S., 1996, Sulla risposta dinamica di pareti in muratura, in Gambarotta L. (ed.) La meccanica delle murature tra teoria e progetto, Atti del Convegno Nazionale, Messina.

Galasco A., 2001, Analisi a collasso e risposta dinamica di pareti in muratura sog- gette ad azione sismica, Tesi di Laurea, Università di Genova.

Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2002, TREMURI Program: Seismic Ana- lyser of 3D Masonry Buildings, University of Genoa.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Resemini S., 2004, Non-linear Seismic Analy- sis of Masonry Structures, Proc. 13th World Conference on Earthquake Engineering, 1-6 Agosto 2004, Vancouver.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Nicoletti M., Lamonaca G., Nicoletti M.e Spina D., Margheriti C., Salcuni A., 2005, Identificazione ed analisi non lineare degli edifici in muratura dell’Osservatorio Sismico delle Strutture, Atti XI Convegno Nazio- nale “L’ingegneria sismica in Italia”, Atti su cd, pp.14, Genova 25-29 gennaio 2004.

Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997a, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls. Part I: the mortar joint model and its applications, Ear- thquake Engineering and Structural Dynamics, 26.

Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997b, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls. Part II: the continuum model and its applications, Ear- thquake Engineering and Structural Dynamics, 26.

Giuffré A. (ed.), 1993, Sicurezza e conservazione dei centri storici in zona sismica. Il caso di Ortigia, Laterza, Bari.

Magenes G., Kingsley G.R., Calvi G.M., 1995, Static testing of a full scale, two-story masonry building: test procedure and measured experimental response, in Experi- mental and numerical investigation on a bric

Magenes G., 2001, Considerazioni sulla modellazione della risposta di elementi mu- rari e di pareti ad azioni nel piano in Magenes et al. (eds.), Metodi semplificati per l’analisi sismica non lineare di edifici in muratura, CNR-GNDT, Roma

Paulay T., 2001, Some design principles relevant to torsional phenomena in ductile buildings, Journal of Earthquake Engineering, 5, 3.

Petrini L., Pinho R., Calvi G.M., 2004, Criteri di progettazione Antisismica degli Edi- fici, IUSS Press, Pavia.

Tomazevic M., 1978, Computation of the shear resistance of masonry buildings, in The seismic resistance of masonry buildings, Report, 1, ZRMK, Lubiana.

Tomazevic M., Weiss P., 1990, A rational, experimentally based method for the veri- fication of earthquake resistance of masonry buildings, Proc. 4th U.S. National Con- ference on Earthquake Engineering, Palm Springs.

Turnsek V. e Cacovic F., 1971. Some experimetal results on the strength of brick masonry walls, Proc. of the 2nd I.B.M.A.C. Int. Conference, Stoke on Trent.